Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x}{7 - \tan (x)}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{7 - \tan (x)}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{7 - \tan (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{7 - \tan (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 7 - \tan (x)$ .

$2 \frac{(7 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [7 - \tan (x)]}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(7 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [7 - \tan (x)]}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $7 - \tan (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{7 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [7 - \tan (x)]}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$2 \frac{7 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{7 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$2 \frac{7 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 \frac{7 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Multipliziere.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \frac{7 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{7 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 \frac{7 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $2$ und $\frac{7 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 (7 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- \tan (x)) + 2 (x \sec^{2} (x))}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14 + 2 (- \tan (x)) + 2 (x \sec^{2} (x))}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{14 - 2 \tan (x) + 2 x \sec^{2} (x)}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + 14 - 2 \tan (x)}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x \sec^{2} (x) + 14 - 2 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 (x \sec^{2} (x)) + 14 - 2 \tan (x)}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 (x \sec^{2} (x)) + 2 (7) - 2 \tan (x)}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \tan (x)$ heraus.

$\frac{2 (x \sec^{2} (x)) + 2 (7) + 2 (- \tan (x))}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x \sec^{2} (x)) + 2 (7)$ heraus.

$\frac{2 (x \sec^{2} (x) + 7) + 2 (- \tan (x))}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x \sec^{2} (x) + 7) + 2 (- \tan (x))$ heraus.

$\frac{2 (x \sec^{2} (x) + 7 - \tan (x))}{{(7 - \tan (x))}^{2}}$