Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\ln (3 x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\ln (3 x)}$ als $\ln^{- 1} (3 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \ln (3 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (3 x)$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $\ln^{- 2} (3 x)$ .

$- \frac{\ln^{- 2} (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 4.2

Bringe $\ln^{- 2} (3 x)$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 4.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)}$ .

$\frac{- 3}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x \ln^{2} (3 x)$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \cdot 1$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)}$