Analysis Beispiele

$y = - \frac{3}{5 x + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{5 x + 2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{5 x + 2}$ als ${(5 x + 2)}^{- 1}$ um.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 5 x + 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + 2$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 2$ .

$- 3 (- {(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 ({(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $5$ und $0$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} \cdot 5$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 {(5 x + 2)}^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $15$ und $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{15}{{(5 x + 2)}^{2}}$