Analysis Beispiele

$y = \frac{3 + 4 x - 6 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}] - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{x (4 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (4 - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (4 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 10

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (4 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (4 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (4 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.3.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 \cdot x + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x - x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.3

Kombiniere $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{4 x - \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 x - (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.3.1.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.5.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 17.3.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 17.3.1.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 17.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 17.3.2.1

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 0 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 17.3.2.2

Addiere $- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ und $0$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 17.3.3

Addiere $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ und $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

Schritt 17.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ heraus.

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Schritt 17.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{2}}$

Schritt 17.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)}{x^{2}}$

Schritt 17.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{2}}$