Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x^{4} + 9}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{4} + 9$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + 0) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Addiere $12 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3}) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$\frac{12 \cdot x^{5} - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{12 x^{5} - (3 x^{4} + 9) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4} + 9) x}{x^{4}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{5} + (- 2 (3 x^{4}) - 2 \cdot 9) x}{x^{4}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4}) x - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x \cdot x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x^{1} x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{1 + 4}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{5}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $6 x^{5}$ von $12 x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Schritt 7.4

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{5} - 18 x$ heraus.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{5}$ heraus.

$\frac{6 x (x^{4}) - 18 x}{x^{4}}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 18 x$ heraus.

$\frac{6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)}{x^{4}}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)$ heraus.

$\frac{6 x (x^{4} - 3)}{x^{4}}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x (x^{4} - 3)$ heraus.

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x^{4}}$

Schritt 7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (x^{4} - 3)}{x^{3}}$