Analysis Beispiele

$y = {(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = 5 - 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 - 2 x$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.7

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \frac{2}{x} + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{2}{x} + 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{2}{x} + 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + 0))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2} + 0))$

Schritt 3.9

Addiere $- 2 x^{- 2}$ und $0$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2}))$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

Schritt 3.11

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{8}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8}{8} ({(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

Schritt 3.12

Kombiniere ${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ und $\frac{- 8}{8}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8} x^{- 2}$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8}$ und $x^{- 2}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8 x^{- 2}}{8}$

Schritt 3.14

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von ${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2}}{8}$

Schritt 3.15

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{8 x^{2}}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $8$ .

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Schritt 3.16.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ heraus.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

Schritt 3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.16.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 (x^{2})}$

Schritt 3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

Schritt 3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Um $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Um $- \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

Schritt 5.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ mit $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Schritt 5.1.4.3

Stelle die Faktoren von ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ um.

$\frac{6 x^{2}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 x^{2} - {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x^{2} - {(5 - 2 x)}^{4} {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$