Analysis Beispiele

$y = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 x - 2$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$\frac{5 \cdot (x^{2} + 1) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 + (- 2 (5 x) - 2 \cdot - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x^{2}) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 5 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 5 x^{2} + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (5 x^{2}) + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - (- 4 x)$ heraus.

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11

Schreibe $- (5 x^{2} - 4 x - 5)$ als $- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)$ um.

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x^{2} - 4 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$