Analysis Beispiele

$y = {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + 5 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 (- \sin (x)))$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) - 5 \sin (x))$