Analysis Beispiele

$y = {(x + \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$