Analysis Beispiele

$y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ und $g (x) = (x + 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) (1 + 0)) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [2]))}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) (1 + 0))}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) \cdot 1)}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + x + 3)}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 2 + 3)}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 5.8.4

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x + 3)$ an.

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Multipliziere $(x + 2) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x (x + 3) + 2 (x + 3)) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 3 + 2 (x + 3)) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(x^{2} + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x^{2} + 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 3) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2 x + 6) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 6) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 6) (2 x + 2) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.4

Multipliziere $(x^{2} + 5 x + 6) (2 x + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.5.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 \cdot 2 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.5.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 \cdot 2 (x \cdot x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 \cdot 2 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x^{2} + 10 x + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.8

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x^{2} + 10 x + 12 x + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.9

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x^{2} + 10 x + 12 x + 12 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.6

Addiere $2 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x + 12 x + 12 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.7

Addiere $10 x$ und $12 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.8

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - ((x + 1) (x + 1)) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.9

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.10.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.10.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.10.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + x + x + 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.10.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.12

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 + (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 + (- x^{2} - 2 x - 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.13

Multipliziere $(- x^{2} - 2 x - 1) (2 x + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.14.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.14.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.14.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.14.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x^{2} - 10 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x^{2} - 10 x - 2 x - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.14.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x^{2} - 10 x - 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 5 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 9 x^{2} - 10 x - 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.1.16

Subtrahiere $2 x$ von $- 10 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 5$ .

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{2} + 22 x + 12 + 0 - 9 x^{2} - 12 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $12 x^{2} + 22 x + 12$ und $0$ .

$\frac{12 x^{2} + 22 x + 12 - 9 x^{2} - 12 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 22 x + 12 - 12 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $12 x$ von $22 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 10 x + 12 - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.3.5

Subtrahiere $5$ von $12$ .

$\frac{3 x^{2} + 10 x + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 6.4.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} + 10 (x) + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Schreibe $10$ um als $3$ plus $7$

$\frac{3 x^{2} + (3 + 7) x + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 3 x + 7 x + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) + 7 x + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 x (x + 1) + 7 (x + 1)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (3 x + 7)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$