Analysis Beispiele

$y = \ln^{2} (x + 4)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x + 4)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (x + 4)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (x + 4)$ .

$2 \ln (x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 4$ .

$2 \ln (x + 4) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$2 \ln (x + 4) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 4$ .

$2 \ln (x + 4) (\frac{1}{x + 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{x + 4}$ und $2$ .

$\frac{2}{x + 4} \ln (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{2}{x + 4}$ und $\ln (x + 4)$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (1 + 0)$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} \cdot 1$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4}$ mit $1$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 4

Vereinfache $2 \ln (x + 4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({(x + 4)}^{2})}{x + 4}$