Analysis Beispiele

$y = \log_{2} ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{2} (x)$ und $g (x) = {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{2} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ und $g (x) = 2 x^{2} - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {u_{2}}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)}$ .

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2))} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Schritt 9

Bringe ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2) {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Multipliziere ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ mit ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1

Bewege ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Schritt 10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Schritt 10.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{- 3 + 5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Schritt 10.1.4

Addiere $- 3$ und $5$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Schritt 10.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Schritt 10.2

Vereinfache $2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 14

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1 \cdot 1)$

Schritt 17

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5}{(2 (2 x^{2}) + 2 (- x)) \ln (2)} (4 x - 1)$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5}{2 (2 x^{2}) \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Schritt 18.3

Vereine die Terme

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Schritt 18.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Schritt 18.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$

Schritt 18.4

Stelle die Faktoren von $\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$ um.

$(4 x - 1) \frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)}$

Schritt 18.5

Faktorisiere $2 x \ln (2)$ aus $4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 18.5.1

Faktorisiere $2 x \ln (2)$ aus $4 x^{2} \ln (2)$ heraus.

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) - 2 x \ln (2)}$

Schritt 18.5.2

Faktorisiere $2 x \ln (2)$ aus $- 2 x \ln (2)$ heraus.

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)}$

Schritt 18.5.3

Faktorisiere $2 x \ln (2)$ aus $2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)$ heraus.

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Schritt 18.6

Mutltipliziere $4 x - 1$ mit $\frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$ .

$\frac{(4 x - 1) \cdot 5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Schritt 18.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $4 x - 1$ .

$\frac{5 (4 x - 1)}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$