Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ und $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}] - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $e^{x} - e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7

Potenziere $e^{x} - e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 12.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 12.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 13

Differenziere.

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Schritt 13.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 13.2

Multipliziere.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 13.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 14

Potenziere $e^{x} + e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 15

Potenziere $e^{x} + e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - {(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 17

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - {(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{x} - e^{- x}$ und $b = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x} + e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2

Vereinfache.

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Schritt 18.1.2.1

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$\frac{(2 e^{x} - e^{- x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.2

Addiere $- e^{- x}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.3

Addiere $2 e^{x}$ und $0$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} - e^{- x} - e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.5

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (0 - e^{- x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.6

Subtrahiere $e^{- x}$ von $0$ .

$\frac{2 e^{x} (- e^{- x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.7

Subtrahiere $e^{- x}$ von $- e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} \cdot - 2 e^{- x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 18.1.2.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.8.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 18.1.2.8.2.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\frac{- 4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 e^{- x + x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.8.2.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{- 4 e^{0}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.1.2.8.3

Vereinfache $- 4 e^{0}$ .

$\frac{- 4}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Schritt 18.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$