Analysis Beispiele

$y = \sin^{2} (x) (x^{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{2} (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Füge Klammern hinzu.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 5.2.2

Stelle $2 x^{3}$ und $\cos (x) \sin (x)$ um.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (2 x^{3})$

Schritt 5.2.3

Füge Klammern hinzu.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x^{3}$

Schritt 5.2.4

Stelle $\cos (x)$ und $\sin (x) \cdot 2$ um.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) x^{3}$

Schritt 5.2.5

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) x^{3}$

Schritt 5.2.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$ um.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + x^{3} \sin (2 x)$