Analysis Beispiele

$y = \frac{\log_{6} (x)}{3 + x^{6}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \log_{6} (x)$ und $g (x) = 3 + x^{6}$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{d}{d x} [\log_{6} (x)] - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\log_{6} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (6)}$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x^{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (6 x^{5})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \frac{1}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x \ln (6)}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (6)$ heraus.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x (\ln (6))} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{5} \frac{1}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{\ln (6)}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache $- 6 \log_{6} (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Stelle die Faktoren in $\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}$ um.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$ mit $\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)}$ .

$\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)} \cdot \frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Kombinieren.

$\frac{x \ln (6) (\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x \ln (6)$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (6)$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $\ln (6)$ aus $x \ln (6)$ heraus.

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + x \cdot x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere $x$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 4.3.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 + x^{1} x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + x^{1 + 5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{3 + x^{6} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 + x^{6} + x^{5} x^{1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + x^{6} + x^{5 + 1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3.9

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{3 + x^{6} + x^{6} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{6} - x^{6} \ln (6) \log_{6} (x^{6}) + 3}{x {(3 + x^{6})}^{2} \ln (6)}$