Analysis Beispiele

$y = {(3 x - \frac{2}{x})}^{8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = 3 x - \frac{2}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - \frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - \frac{2}{x}$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - \frac{2}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 (- x^{- 2}))$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + 2 x^{- 2})$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + 2 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + \frac{2}{x^{2}})$