Analysis Beispiele

$y = \frac{300 x + 300}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 300 x + 300$ und $g (x) = {(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $300 x + 300$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.3

Da $300$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $300 x$ nach $x$ gleich $300 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $300$ mit $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.6

Da $300$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $300$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + 0) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Addiere $300$ und $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot 300 - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.7.2

Bringe $300$ auf die linke Seite von ${(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{300 \cdot {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 u \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) (2 \cdot (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 4 (300 x + 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe ${(2 x + 3)}^{2}$ als $(2 x + 3) (2 x + 3)$ um.

$\frac{300 ((2 x + 3) (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $(2 x + 3) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{300 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{300 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 12 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{300 (4 x^{2}) + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.5.3

Mutltipliziere $300$ mit $9$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.6.1

Mutltipliziere $300$ mit $- 4$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 1200) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7

Multipliziere $(- 1200 x - 1200) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x + 3) - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.8.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x \cdot x - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.8.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 (x \cdot x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 1200$ mit $2$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8.1.6

Mutltipliziere $- 1200$ mit $3$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8.2

Subtrahiere $2400 x$ von $- 3600 x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2400 x^{2}$ von $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $6000 x$ von $3600 x$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x + 2700 - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $3600$ von $2700$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $300$ aus $- 1200 x^{2} - 2400 x - 900$ heraus.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $300$ aus $- 1200 x^{2}$ heraus.

$\frac{300 (- 4 x^{2}) - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.2

Faktorisiere $300$ aus $- 2400 x$ heraus.

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere $300$ aus $- 900$ heraus.

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.4

Faktorisiere $300$ aus $300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x)$ heraus.

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.5

Faktorisiere $300$ aus $300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)$ heraus.

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 (x) - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Schreibe $- 8$ um als $- 2$ plus $- 6$

$\frac{300 (- 4 x^{2} + (- 2 - 6) x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 2 x - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{300 ((- 4 x^{2} - 2 x) - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{300 (2 x (- 2 x - 1) + 3 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 x - 1$ .

$\frac{300 ((- 2 x - 1) (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

$\frac{300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 3$ und ${(2 x + 3)}^{4}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2 x + 3$ aus $300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)$ heraus.

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $2 x + 3$ aus ${(2 x + 3)}^{4}$ heraus.

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{300 (- 2 x - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{300 (- (2 x) - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{300 (- (2 x) - 1 (1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{300 (- (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Schritt 5.8

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$\frac{300 (- 1 (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Schritt 5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{300 (2 x + 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$