Analysis Beispiele

$y = {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 6}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 6}$ und $g (x) = x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 6$ .

$- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2 \cdot 1)$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$ um.

$- (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2) \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}}$