Analysis Beispiele

$y = {(1 + \sin (7 x))}^{- 4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = 1 + \sin (7 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + \sin (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + \sin (7 x)$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (7 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 4$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \cdot 1$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 28$ mit $1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 28 \frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Schritt 5.2

Kombiniere $- 28$ und $\frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$\frac{- 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Schritt 5.4

Kombiniere $\cos (7 x)$ und $\frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$- \frac{\cos (7 x) \cdot 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

Schritt 5.5

Bringe $28$ auf die linke Seite von $\cos (7 x)$ .

$- \frac{28 \cos (7 x)}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$