Analysis Beispiele

$y = {(1 - \frac{x}{7})}^{- 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 7}$ und $g (x) = 1 - \frac{x}{7}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - \frac{x}{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 7$ .

$- 7 u^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - \frac{x}{7}$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{x}{7}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$

Schritt 2.4

Da $- \frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{7}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$\frac{7}{7} {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{7}{7}$ und ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ .

$\frac{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}}{7} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.4

Bringe ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \cdot 1$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$

Schritt 2.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{(- \frac{x}{7} + 1)}^{8}}$