Analysis Beispiele

$y = {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ und $g (x) = x^{5} - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5} - 8$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 6.3

Bringe ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 9

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + 0)$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4})$

Schritt 10.2

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ und $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $5$ aus $20 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Faktorisiere $5$ aus $5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 ({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}})}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{4}}{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$