Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $2 x^{2} x$ von $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot - 4 x + 0 - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $2 \cdot - 4 x$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot - 4 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 8 x - 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $2 x$ von $- 8 x$ .

$\frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$- \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$