Analysis Beispiele

$y = {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$ .

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} (6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 - x$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 - x$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 \cdot (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.7

Multipliziere.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.2

Kombiniere $\frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ und $18$ .

$\frac{(2 (2 - x) x + x^{2}) \cdot 18}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

Schritt 4.9.3

Bringe $18$ auf die linke Seite von $2 (2 - x) x + x^{2}$ .

$\frac{18 \cdot (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ an.

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(6 x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $6 x^{2}$ an.

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 ((2 \cdot 2 + 2 (- x)) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x + 2 (- x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6

Vereine die Terme

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{18 (4 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $18$ .

$\frac{72 x + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 x \cdot x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x)) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{1 + 1}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{2}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $18$ .

$\frac{72 x - 36 x^{2} + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.9

Addiere $- 36 x^{2}$ und $18 x^{2}$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.10

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.11

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.6.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{2 \cdot 2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.12

Mutltipliziere $\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ mit $\frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$ .

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 5.6.13

Multipliziere ${(2 - x)}^{2}$ mit ${(2 - x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2 + 2}}$

Schritt 5.6.13.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{4}}$

Schritt 5.6.14

Bringe $36$ auf die linke Seite von $72 x - 18 x^{2}$ .

$\frac{36 (72 x - 18 x^{2}) x^{4}}{{(2 - x)}^{4}}$

Schritt 5.7

Stelle die Terme um.

$\frac{36 x^{4} (72 x - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $18 x$ aus $72 x - 18 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.8.1.1

Faktorisiere $18 x$ aus $72 x$ heraus.

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

Schritt 5.8.1.2

Faktorisiere $18 x$ aus $- 18 x^{2}$ heraus.

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) + 18 x (- x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

Schritt 5.8.1.3

Faktorisiere $18 x$ aus $18 x (4) + 18 x (- x)$ heraus.

$\frac{36 x^{4} (18 x (4 - x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

$\frac{36 x^{4} \cdot 18 x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Schritt 5.8.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.8.2.1

Mutltipliziere $18$ mit $36$ .

$\frac{648 x^{4} x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Schritt 5.8.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{648 (x^{1} x^{4}) (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Schritt 5.8.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{648 x^{1 + 4} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Schritt 5.8.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{648 x^{5} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$