Analysis Beispiele

$g (x) = (\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}})$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{3} - 6)}^{2}$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere ${(x^{3} - 6)}^{2}$ mit $1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{3} - 6$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 6$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 6$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x^{3} - 6$ aus ${(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{3} - 6$ aus ${(x^{3} - 6)}^{2}$ heraus.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x^{3} - 6$ aus $- 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ heraus.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x^{3} - 6$ aus $(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$ heraus.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x^{3} - 6$ aus ${(x^{3} - 6)}^{4}$ heraus.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 9

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x \cdot x^{2}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 11

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x^{1})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{2 + 1}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 11.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{3}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 12

Subtrahiere $6 x^{3}$ von $x^{3}$ .

$5 \frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 13

Kombiniere $5$ und $\frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{- 25 x^{3} + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$\frac{- 25 x^{3} - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.3

Faktorisiere $5$ aus $- 25 x^{3} - 30$ heraus.

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Schritt 14.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 25 x^{3}$ heraus.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)$ heraus.

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.5

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 1 (6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{3}) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{5 (- (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.7

Schreibe $- (5 x^{3} + 6)$ als $- 1 (5 x^{3} + 6)$ um.

$\frac{5 (- 1 (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Schritt 14.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 (5 x^{3} + 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$