Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{1 + 2 x}{3 - 4 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + 2 x$ und $g (x) = 3 - 4 x$ .

$\frac{(3 - 4 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 - 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 - 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (3 - 4 x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) \cdot 1 - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (- 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x) \cdot 1}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 4 x) + 4 (1 + 2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 4 x) + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 + 2 (- 4 x) + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 + 8 x}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 - 8 x + 4 + 8 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- 8 x$ und $8 x$ .

$\frac{6 + 0 + 4}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{6 + 4}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $6$ und $4$ .

$\frac{10}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{10}{{(- 4 x + 3)}^{2}}$