Analysis Beispiele

$\ln (\frac{x}{y})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{y}$ zu dividieren.

$1 \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $1$ .

$\frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 4

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y}{x} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x}$