Analysis Beispiele

$\ln (- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.8

Da $135$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $135 x$ nach $x$ gleich $135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $135$ mit $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + 0)$

Schritt 2.12

Addiere $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ und $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$ um.

$(- 3 x^{2} + 12 x + 135) \frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ mit $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $135$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (4 x)$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 45 = - 45$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 3.3.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 4 (x) + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe $4$ um als $- 5$ plus $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 9) x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 (x (- x - 5) - 9 (- x - 5))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 5$ .

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 9))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.5

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.7

Schreibe $- (x + 5)$ als $- 1 (x + 5)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $135 x$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x) + 1}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) + 1}$

Schritt 3.13

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)}$

Schritt 3.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Schritt 3.15

Schreibe $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ als $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Schritt 3.17

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 5) (x - 9)}{x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1}$