Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} \sin (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Schritt 5.2.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cot (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)} (2 x)$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} x$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $\frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ und $x$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) + \frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) + \frac{2}{x}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{x} + \cot (x)$