Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} - 2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x} (2 x - 2)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} - 2 x} (2 x - 2)$ um.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(2 x - 2) \frac{1}{x \cdot x - 2 x}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$(2 x - 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 2}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$(2 x - 2) \frac{1}{x (x - 2)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2 x - 2$ mit $\frac{1}{x (x - 2)}$ .

$\frac{2 x - 2}{x (x - 2)}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 2}{x (x - 2)}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{x (x - 2)}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x - 1)}{x (x - 2)}$