Analysis Beispiele

$\ln (x^{n})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{n}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{n}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{n}$ .

$\frac{1}{x^{n}} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = n$ .

$\frac{1}{x^{n}} (n x^{n - 1})$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $n$ und $\frac{1}{x^{n}}$ .

$\frac{n}{x^{n}} x^{n - 1}$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{n}{x^{n}}$ und $x^{n - 1}$ .

$\frac{n x^{n - 1}}{x^{n}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{n - 1}$ und $x^{n}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $x^{n}$ aus $n x^{n - 1}$ heraus.

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n x^{- 1}}{1}$

Schritt 2.2.3.2.4

Dividiere $n x^{- 1}$ durch $1$ .

$n x^{- 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$n \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Kombiniere $n$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{n}{x}$