Analysis Beispiele

$\ln (3 e^{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 e^{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 e^{x}$ .

$\frac{1}{3 e^{x}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{3 e^{x}} (3 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 e^{x}}$ .

$\frac{3}{3 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{x}}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1$