Analysis Beispiele

$\ln (2 x^{5})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{5}$ .

$\frac{1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{5}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{2 x^{5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x^{5}}$ .

$\frac{2}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Schritt 2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{5}{x^{5}}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Schritt 2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Schritt 2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.3.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Schritt 2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x}$