Analysis Beispiele

$\ln (2^{- x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2^{- x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2^{- x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2^{- x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2^{- x}$ .

$\frac{1}{2^{- x}} \frac{d}{d x} [2^{- x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2^{- x}} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$\frac{1}{2^{- x}} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2^{- x}} (2^{- x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2^{- x}$ und $\frac{1}{2^{- x}}$ .

$\frac{2^{- x}}{2^{- x}} (\ln (2) \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\ln (2)$ und $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 2^{- x}}{2^{- x}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{- x}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (2) \cdot 2^{- x}}{2^{- x}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\ln (2)$ durch $1$ .

$\ln (2) \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (2) (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\ln (2) (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (2) \cdot - 1$

Schritt 3.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$- 1 \cdot \ln (2)$

Schritt 3.5.3

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$- \ln (2)$