Analysis Beispiele

$\ln (a x^{n})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = a x^{n}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a x^{n}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [a x^{n}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [a x^{n}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $a x^{n}$ .

$\frac{1}{a x^{n}} \frac{d}{d x} [a x^{n}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{n}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{n}]$ .

$\frac{1}{a x^{n}} (a \frac{d}{d x} [x^{n}])$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{a x^{n}}$ .

$\frac{a}{a x^{n}} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a}{a x^{n}} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{n}} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = n$ .

$\frac{1}{x^{n}} (n x^{n - 1})$

Schritt 2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $n$ und $\frac{1}{x^{n}}$ .

$\frac{n}{x^{n}} x^{n - 1}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{n}{x^{n}}$ und $x^{n - 1}$ .

$\frac{n x^{n - 1}}{x^{n}}$

Schritt 2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{n - 1}$ und $x^{n}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $x^{n}$ aus $n x^{n - 1}$ heraus.

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n}}$

Schritt 2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n x^{- 1}}{1}$

Schritt 2.4.3.2.4

Dividiere $n x^{- 1}$ durch $1$ .

$n x^{- 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$n \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Kombiniere $n$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{n}{x}$