Analysis Beispiele

$\ln (\frac{e}{e - x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{e}{e - x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{e}{e - x}$ zu dividieren.

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{e - x}{e}$ mit $1$ .

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Schritt 3.2

Da $e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e}{e - x}$ nach $x$ gleich $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ .

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $e$ und $\frac{e - x}{e}$ .

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $e - x$ durch $1$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{1}{e - x}$ als ${(e - x)}^{- 1}$ um.

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = e - x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $e - x$ .

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e - x$ .

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Schritt 5

Potenziere $e - x$ mit $1$ .

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

Schritt 7

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 9

Da $e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Multipliziere.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.2

Mutltipliziere ${(e - x)}^{- 1}$ mit $1$ .

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

Schritt 14

Mutltipliziere ${(e - x)}^{- 1}$ mit $1$ .

${(e - x)}^{- 1}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e - x}$

Schritt 15.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{- x + e}$

Schritt 15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{1}{- (x) + e}$

Schritt 15.4

Faktorisiere $- 1$ aus $e$ heraus.

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

Schritt 15.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- e)$ heraus.

$\frac{1}{- (x - e)}$

Schritt 15.6

Schreibe $- (x - e)$ als $- 1 (x - e)$ um.

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

Schritt 15.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x - e}$