Analysis Beispiele

$\ln (\frac{1}{x + 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{x + 1}$ zu dividieren.

$1 (x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{- 1}$ um.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(x + 1) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$(x + 1) (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$- ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {(x + 1)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 7

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + 0)$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \cdot 1$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1}$

Schritt 12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x + 1}$