Analysis Beispiele

$\ln (\frac{1}{\ln (x)})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{1}{\ln (x)}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\ln (x)}$ zu dividieren.

$1 \ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{\ln (x)}$ als $\ln^{- 1} (x)$ um.

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\ln (x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 5

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$- (\ln^{1} (x) \ln^{- 2} (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {\ln (x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 7

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \ln^{- 1} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 8

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- \ln^{- 1} (x) \frac{1}{x}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln^{- 1} (x)$ .

$- \frac{\ln^{- 1} (x)}{x}$

Schritt 9.2

Bringe $\ln^{- 1} (x)$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x \ln (x)}$