Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{30}{x}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{30}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{30}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.2

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{30}{x}$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (- 30 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 30$ und $\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ und $x^{- 2}$ .

$\frac{- 30 x^{- 2}}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.8

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \arctan (\frac{10}{x})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{10}{x}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Schritt 3.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10}{x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 (- x^{- 2})))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (- 10 x^{- 2}))$

Schritt 3.7

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} x^{- 2})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ und $x^{- 2}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10 x^{- 2}}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$

Schritt 3.9

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - - \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + 1 \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $\frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{30}{x}$ an.

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{10}{x}$ an.

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $30$ mit $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{900}{x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.4.2

Dividiere $900$ durch $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.6

Potenziere $10$ mit $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.7

Kombiniere $\frac{100}{x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 4.5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.5.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 4.5.8.2

Dividiere $100$ durch $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Schritt 4.5.9

Um $- \frac{30}{x^{2} + 900}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Schritt 4.5.10

Um $\frac{10}{x^{2} + 100}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Schritt 4.5.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.5.11.1

Mutltipliziere $\frac{30}{x^{2} + 900}$ mit $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Schritt 4.5.11.2

Mutltipliziere $\frac{10}{x^{2} + 100}$ mit $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.5.11.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ um.

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.5.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 30 (x^{2} + 100) + 10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $10$ aus $10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)$ heraus.

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Schritt 4.7.1.1

Faktorisiere $10$ aus $- 30 (x^{2} + 100)$ heraus.

$\frac{10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.1.2

Faktorisiere $10$ aus $10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))$ heraus.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 3 \cdot 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $100$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.4

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 900 - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.5

Subtrahiere $300$ von $900$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 600$ heraus.

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Schritt 4.7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.6.2

Faktorisiere $2$ aus $600$ heraus.

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 2 (300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (300)$ heraus.

$\frac{10 (2 (- x^{2} + 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

$\frac{10 \cdot 2 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.7.7

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{20 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{20 (- (x^{2}) + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.9

Schreibe $300$ als $- 1 (- 300)$ um.

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (- 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- 300)$ heraus.

$\frac{20 (- (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.11

Schreibe $- (x^{2} - 300)$ als $- 1 (x^{2} - 300)$ um.

$\frac{20 (- 1 (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20 (x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$