Analysis Beispiele

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Schritt 2

Stelle $e^{u}$ und $\cos (u)$ um.

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \cos (u)$ und $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ mit $1$ .

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Schritt 5.3

Stelle $e^{u}$ und $\sin (u)$ um.

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \sin (u)$ und $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Schritt 7

Wenn nach $\int e^{u} \cos (u) d u$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Schritt 8

Schreibe $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ als $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Schritt 10.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$