Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5} \frac{5 - \sqrt{5 x}}{x - 5}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 5} 5 - \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} 5 - lim_{x \to 5} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{5 - lim_{x \to 5} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{5 - \sqrt{lim_{x \to 5} 5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - \sqrt{5 lim_{x \to 5} x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{5 \cdot 5}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{25}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{5 - \sqrt{5^{2}}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 5} \frac{5 - \sqrt{5 x}}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - \sqrt{5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.3

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.4

Da $- 5^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $5^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.4.13

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 5} - \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $5^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{5}$ um.

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5.2

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{\sqrt{5}}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} \sqrt{x}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 5} \sqrt{x}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 5} x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{5}$ .

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Schritt 4.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $\sqrt{5}$ aus $- \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{\sqrt{5} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$