Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x^{2} - 7}{x}$ zu dividieren.

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x}{x^{2} - 7}$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 7$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x^{2} - 7}$ mit $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Faktorisiere $x$ aus $(x^{2} - 7) x^{2}$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

Schritt 13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Schritt 13.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Schritt 13.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

Schritt 13.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

Schritt 13.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

Schritt 13.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 7 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

Schritt 13.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x$ heraus.

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

Schritt 13.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ heraus.

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$