Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{x^{5}}{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{5}}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{5}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5}}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x^{5}}{3}$ zu dividieren.

$1 \frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{5}}$ mit $1$ .

$\frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{5}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{x^{5}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{x^{5}}$ .

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{5}{x^{5}}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x}$