Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (\arctan (\ln (x)))$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \ln (x))$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\ln (x))$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \ln (x))$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arctan (\ln (x)))$ $\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}]$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}$ als ${(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Schreibe $\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + \ln^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Schritt 7.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Schritt 7.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 9.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 9.3

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot - 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 9.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 9.5

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (x)$ heraus.

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 ({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 12

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 13

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$