Analysis Beispiele

$f (x) = x \cos (\sqrt{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})] + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{x \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 15.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1$

Schritt 17

Mutltipliziere $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ mit $1$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}})$