Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Schritt 2

Schreibe $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ zu dividieren.

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ nach $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ um.

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Schritt 6.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Schritt 6.5

Da $\frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 6.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.6.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{1}{2}$

Schritt 6.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$ und $\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Schreibe $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})})}^{2}}{2}$

Schritt 7.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ an.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ aus $\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ heraus.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Schritt 7.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Schritt 7.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ mit $\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Schritt 7.1.6

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Schritt 7.1.7

Wandle von $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ nach $\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ um.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Schritt 7.1.8

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Schritt 7.1.9

Wandle von $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ nach $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ um.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Schritt 7.1.10

Dividiere $1^{2}$ durch $1$ .

$\frac{1^{2} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Schritt 7.1.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Schritt 7.1.12

Mutltipliziere $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ mit $1$ .

$\frac{\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Schritt 7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$