Analysis Beispiele

$x + \sqrt{5 x}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt{5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$1 + \frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$1 + \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.4

Da $5^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.12

Kombiniere $5^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.13

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$