Analysis Beispiele

$x \ln (2 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x + 1}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{x}{2 x + 1}$ und $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $\ln (2 x + 1)$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)$

Schritt 4

Um $\ln (2 x + 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.1.3

Mutltipliziere $\ln (2 x + 1)$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.1.4

Vereinfache $2 \ln (2 x + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.2

Stelle die Faktoren in $2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)$ um.

$\frac{2 x + x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + 2 x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$