Analysis Beispiele

$x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Schritt 2.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Schritt 2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.9

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme

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Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$