Analysis Beispiele

$y = x^{2} \sec (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (\frac{1}{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{1}{x})] + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$x^{2} (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{- 2 + 2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$x^{0} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache $x^{0} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})$ .

$- 1 \cdot (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.3

Schreibe $- 1 \sec (\frac{1}{x})$ als $- \sec (\frac{1}{x})$ um.

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + \sec (\frac{1}{x}) (2 x)$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + 2 x \sec (\frac{1}{x})$