Analysis Beispiele

$y = (x^{2} - 1) (x^{3} + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 1$ und $g (x) = x^{3} + 3$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3] + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$3 \cdot (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x)$

Schritt 2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3} + 3$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + 2 \cdot (x^{3} + 3) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} + 3 \cdot - 1) x^{2} + 2 (x^{3} + 3) x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 (x^{3} + 3) x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + (2 x^{3} + 2 \cdot 3) x$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Schritt 3.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Schritt 3.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot 3 x$

Schritt 3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 3} + 2 \cdot 3 x$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{4} + 2 \cdot 3 x$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{4} + 6 x$

Schritt 3.5.7

Addiere $3 x^{4}$ und $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 3 x^{2} + 6 x$